Оптимальний зв′язок на виході лазера

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4

1.2.1. Чотирирівнева система

В даному розділі ми розглянемо роботу лазера при стаціонарній накачці (тобто такий випадок, коли швидкість накачки не залежить від часу). У цьому випадку лазер генерує у стаціонарному режимі.

Для початку запишемо умову, яка необхідна для забезпечення неперервної генерації. Очевидно, що при відсутності генерації для рівня 1 повинна виконуватись умова рівноваги населеностей, які приходять на рівень 1, і які йдуть із нього:

(1.17)

де τ₂₁ – час переходу 2→1, τ₁ – час життя частинки на рівні N₁. Для здійснення генерації необхідно, щоб N₂>N₁. Отже, із попереднього виразу випливає, що:

(1.18)

Якщо W_p постійна і достатньо велика і якщо виконується умова (1.18), то в кінці-кінців буде виконана умова лазерної генерації.

Розглянемо спочатку порогову умову генерації лазера. Для цього припустимо, що момент часу t=0 у резонаторі внаслідок спонтанного випромінювання вже присутня певна невелика кількість фотонів q_i. Генерація виникне тоді, коли інверсія населеностей досягне певного критичного рівня N_c, який можна знайти з виразу [1]:

(1.19)

при виведенні якого використовувались рівняння (1.12). Критичну швидкість накачки можна отримати із виразу (1.14а), прийнявши =0, N=N_c, i q=0. Таким чином, використавши (1.19), отримуємо:

(1.20)

Фізичний зміст (1.19) можна зрозуміти, переписавши його у вигляді:

(1.21)

Ця умова означає, що N_c повинно бути достатньо великим, щоб підсилення компенсувало повні втрати в резонаторі.

Якщо W_p>W_cp, то кількість фотонів зростатиме від вихідного значення q_i і в кінці-кінців досягне постійного значення q₀. Це стаціонарне значення і відповідне значення стаціонарної інверсії населеностей можна отримати з рівнянь (1.14), прийнявши умови = =0:

(1.22а)

(1.22б)

Ці рівняння описують неперервний режим роботи чотирирівневого лазера. Розглянемо їх більш уважно. З рівняння (1.22а) випливає, що навіть коли швидкість накачки перевищує критичне значення, інверсія населеностей залишається незмінною і рівною критичній інверсії, а, як випливає з (1.22б), q₀ з ростом W_p лінійно зростає. Тобто, коли швидкість накачки перевищує критичну, в резонаторі лазера збільшується кількість фотонів (зростає електромагнітна енергія в резонаторі), а не інверсія населеностей (енергія, яка запасена в активному середовищі). Ця ситуація показана на рис.2, на якому зображені залежності N i q від швидкості накачки W_p.

Бачимо, що коли швидкість накачки нижча від порогового значення, то q=0.

З врахуванням (1.20) і (1.22а) вираз (1.22б) можна записати у вигляді:

(1.23)

де:

(1.23а)

х – відносне перевищення швидкості накачки над пороговим значенням, Р_р – потужність електричної накачки (прикладена до лампи або до розряду), Р_пор – її порогове значення. З допомогою рівнянь (1.19) і (1.24) вираз (1.23) можна переписати у зручнішому вигляді:

(1.25)

Варто зауважити, що навіть при незначному перевищенні потужності накачки над пороговим значенням, число q₀ у резонаторі вже дуже велике.

Рис. 2 Залежність інверсії населеності N і повного числа фотонів q врезонаторі від швидкості накачки W_p

Для оцінки можна сказати, що навіть при перевищенні порогу на 10 % для неперервного одномодового Nd:YAG-лазера q₀≈10¹¹. Отже, значення q_i, яке ми приймали на початку нашого розгляду, мало впливає на кінцеву кількість фотонів у резонаторі.

Тепер можна записати вираз для знаходження вихідної потужності. З формул (1.15) і (1.25):

(1.26)

де: 

(1.27)

З виразу (1.22), врахувавши (1.3) і, прийнявши N_g=N_t, а також V=Sl_a.e., де S – площа поперечного перерізу активного середовища, отримуємо:

(1.28)

З останніх виразів можна записати наглядну формулу для ККД, яка дозволяє виділити окремі фактори, які спричиняють його зниження:

(1.29)

де к_р – ККД накачки; к_с=γ₂/2γ – його можна назвати ККД зв’язку на виході резонатора; к_А=S_е/S – коефіцієнт заповнення перерізу активного середовища; к_q=ν/ν_p – квантова ефективність лазера.

Цей розгляд справедливий, якщо τ₁<<τ. Якщо ця умова не виконується, то рівняння необхідно видозмінити. Зокрема, для випадку, коли повний (випромінювальний плюс безвипромінювальний) час життя переходу 2→1 τ₂₁ рівний повному часу життя рівня 2 τ₂. В цьому випадку вирази (1.19), (1.22а), (1.23) і (1.26) залишаються справедливими, а формула (1.19) приймає вигляд:

(1.30)

а також у правій частині (1.29) з’являється п’ятий множник, який можна назвати ККД релаксації нижнього лазерного рівня:

(1.31)

При сталій швидкості накачки існує певне значення коефіцієнта пропускання вихідного дзеркала _опт, при якому досягається максимальна вихідна потужність. Це явище спричинене взаємним впливом двох механізмів: з однієї сторони, вихідна потужність при збільшенні пропускання вихідного дзеркала повинна зростати, а з іншої – вона має зменшуватись через те, що з ростом пропускання ростуть і загальні втрати у резонаторі.

Для виведення можна скористатися виразом (1.26). Необхідно накласти умову      – це відповідатиме максимуму вихідної потужності. При цьому необхідно враховувати, що теж є функціями від величини . Тому, досить просто таким чином отримати вираз для чотирирівневого лазера. Прийнявши для спрощення, що , вираз (1.26) можна переписати так:

(1.32)

Де

(1.33)

(1.34)

Величина представляє собою відношення фактичної швидкості накачки W_p до її мінімального значення (тобто такої швидкості накачки, яка необхідна для досягнення порогу при достатньо малих втратах на виході з резонатора – ).

Єдиним членом, який залежить від , є величина A. Отже, оптимальний зв’язок на виході можна отримати, накладаючи умову . При цьому можна отримати оптимальне значення величини A:

(1.35)

Знайшовши A_опт, використовуючи (1.32), з виразу (1.7а) можна знайти значення _опт. А відповідний вираз для вихідної потужності:

(1.36)

Втрати у вихідній потужності внаслідок неоптимальних умов генерації найбільше впливають біля порога генерації (тобто коли x_min≈1). Проте, коли генерація відбувається при значному перевищенні над порогом, зміна зв’язку на виході мало впливає на вихідну потужність.

1.3. Нестаціонарний режим роботи лазера

Розглянемо випадок, коли накачка описується ступінчатою функцією. Таким чином, приймаємо, що W_p=0 при t<0 і W_p(t)=W_p (W_p не залежить від часу) при t>0. Приймаємо, що лазер генерує на одній моді.

Рис.3. Часові залежності повної інверсії V_aN(t) і числа фотонів q(t) в резонаторі

Розглянемо деякі особливості кривих на рис.3, на якому зображені залежності N(t) i q(t), отримані шляхом числового розрахунку для трирівневого лазера при таких початкових умовах – N(0)=-N_t i q(0)=q_i (для чотирирівневого лазера залежності будуть аналогічні, за винятком того, що N(0)=0 і початок осі ординат слід змістити на 2мкс вправо): кількість фотонів q(t) описується регулярною послідовністю пічків, амплітуда яких поступово зменшується; інтервал між ними рівний кільком мікросекундам; аналогічний вигляд матиме й вихідне випромінювання; інверсія населеностей N(t) осцилює навколо стаціонарного значення N₀; згідно з виразами (1.22) для чотирирівневого лазера N(t) i q(t) у кінці-кінців досягають своїх стаціонарних значень.

Осцилюючий характер кривих N(t) i q(t) пояснюється тим, що після того, як змінилася інверсія населеностей, кількість фотонів змінюється не зразу, а через деякий час. Таким чином, коли N(t) перший раз проходить через значення N₀, виконується порогова умова генерації й лазер починає генерувати. При цьому деякий час кількість фотонів зростає відносно свого початкового значення,і завдяки процесу накачки інверсія населеностей теж може неперервно зростати протягом цього часу. Але, коли q(t) досягне досить великого значення (тобто q≈q₀), N(t) почне зменшуватись внаслідок великої швидкості вимушеного випромінювання. В момент часу, коли q(t) досягає максимуму, N(t) спадає до значення N₀. Оскільки швидкість вимушеного випромінювання ще досить велика, інверсія N(t) продовжує зменшуватись після досягнення значення N₀. При цьому лазер переходить в умови, які нижчі від порогових, і кількість фотонів зменшується до достатньо малого значення, щоб N(t) знову почала збільшуватись. В момент, коли інверсія досягає порогового значення, q набуває свого мінімального значення. Починаючи з цього моменту, q зростає і знову повторюється описаний цикл.

Для невеликих коливань біля стаціонарних значень (тобто приблизно при t>14 мкс) динамічну поведінку системи можна описати аналітично. Якщо записати вирази для інверсії й кількості фотонів

(1.37a)

(1.37б)

і прийняти δN<<N i δq<<q, то у швидкісних рівняннях там, де є добуток Nq, можна знехтувати добутком δNδq і ці рівняння будуть лінійними відносно δN і δq. Таким чином, можна записати для чотирирівневого лазера [1]:

(1.38)

(1.39)

Підставивши (1.45) у (1.44), отримуємо:

(1.40)

Розв’язок таких диференційних рівнянь шукається у вигляді:

(1.41)

Звідси знайдемо, що величину s можна знайти з рівняння:

(1.42)

де ми прийняли, що:

(1.43)

(1.44)

Ці вирази можна переписати у зручнішому вигляді, використавши явні вирази для N₀ i q₀ – (1.22а) і (1.23). Вважаючи, що N₀<<N_t, у (1.43) можна знехтувати величиною W_p, і отримуємо:

(1.45а)

(1.45б)

де t₀ – постійна часу затухання коливання, ω – циклічна частота коливань.

Потужність випромінювання обчислюється за формулою [2]:

(1.46)

Варто також зауважити, що розглянута тут нестаціонарна поведінка має місце і для лазера, який генерує у стаціонарному режимі, якщо у ньому відбуваються несподівані збурення.

Приведений тут розгляд стосується лише випадку одномодової генерації і добре узгоджується з експериментальними даними. Теоретичний розгляд багатомодового режиму набагато складніший. При цьому необхідно врахувати часову й просторову інтерференцію мод і записати стільки рівнянь для електричних полів електромагнітних хвиль (для амплітуд і для фаз), скільки є мод. При багатомодовій генерації для твердотільних лазерів вихідне випромінювання являє собою цуг нерегулярних в часі імпульсів із випадковими амплітудами (нерегулярні пічки). Крім того, генерація не переходить у нестаціонарний режим, як зображено на рис. 3. Це зумовлено тим, що при переході від одного пічка до іншого, або від одного цуга пічків до другого, відбувається зміна мод, які генерують. В цьому випадку вихідна потужність лазерного випромінювання не є регулярною в часі і не описується якоюсь залежністю.

1.3.1. Модуляція добротності

Одним із випадків нестаціонарної генерації є режим модуляції добротності. Метод мо дуляції добротності дозволяє отримувати лазерну генерацію у вигляді коротких імпульсів (наносекунди – десятки наносекунд) із високою піковою потужністю імпульсів (наносекунди – десятки наносекунд) та з високою піковою потужністю (мегавати – десятки мегават). Основна ідея така. Припустимо, що в резонаторі є затвор. Коли він закритий, генерація не може виникнути й інверсія населеностей може досягнути значення, яке в багато разів перевищує порогове при відсутності затвора. Якщо тепер затвор різко відкрити, то підсилення в лазері значно перевищить втрати і накопичена енергія виділиться у вигляді короткого й інтенсивного лазерного імпульсу. Лазери з модуляцією добротності можуть працювати в двох режимах:

1) в імпульсному, коли швидкість накачки має вигляд імпульсу певної тривалості;

2)  в імпульсно-періодичному – при неперервній накачці.

Рис. 4. Еволюція імпульсу в імпульсному лазері з модуляцією добротності

Обмежимося розглядом лише активної модуляції добротності і будемо вважати , що переключення добротності відбувається миттєво. Для опису процесів, які проходять у лазері, можна знову використати рівняння (1.14) для чотирирівневого лазера.

Розглянемо спочатку імпульсний чотирирівневий лазер (рис. 4) і припустимо, що при t<0 втрати настільки великі, що лазер знаходиться в умовах нижче порогових (тобто q=0 при t<0). Якщо модуляція добротності проходить в момент часу, коли N(t) досягає свого максимального значення, то відповідну початкову інверсію можна отримати з рівняння (1.14а), приймаючи у правій його частині . Тоді, вважаючи, що N<<N_t і враховуючи, що q=0, отримуємо:

(1.47)

де W_p(0) – значення швидкості накачки в момент часу t=0.

Позначивши початкову інверсію при роботі лазера на порозі генерації як N_ic, а відповідну енергію накачки як E_cp, можна записати:

(1.48)

Оскільки N_ic – це просто критична інверсія для даного лазера, її значення можна отримати з (1.14б), прийнявши . Якщо відома N_ic, то з (1.48) можна знайти N_i. Після того, як нам відоме значення N_i, поведінку системи можна описати рівняннями (1.14) з початковими умовами N(0)=N_i i q(0)=q_i. Проте рівняння можна суттєво спростити, оскільки зміни в часі величин N(t) i q(t) відбуваються за такий короткий час, що в рівнянні (1.14а) можна знехтувати членом W_p(N_t-N), який відповідає за накачку, і членом N/τ, який відповідає за релаксацію. Тоді рівняння (1.14) можна записати у такому вигляді:

(1.49а)

(1.49б)

Згідно з (1.49б) можна знайти населеність N_p, яка відповідає максимуму світлового імпульсу, тобто коли :

(1.50)

яке точно співпадає з виразом для критичної інверсії N_ic. З врахуванням (1.48) цей результат можна переписати у вигляді, який буде зручний для подальшого розгляду:

(1.51)

Після цього можна записати вираз для обчислення пікової потужності випромінювання, яке виходить через вихідне дзеркало:

(1.52)

тут q_p – кількість фотонів у резонаторі, коли лазерний імпульс досягає пікового значення. Для обчислення величини q_p поділимо (1.49б) на (1.49а) і, враховуючи (1.50), отримуємо:

(1.53)

Тепер із формул (1.52) і (1.53) можна записати вираз для обчислення пікової вихідної потужності:

(1.54)

Тепер перейдемо до обчислення вихідної енергії Е. Вихідним виразом для цього буде:

(1.55)

З цієї формули після деяких перетворень можна отримати більш просту й наглядну формулу для вихідної енергії:

(1.56)

де к_Е – коефіцієнт використання інверсії. На рис.5 зображена крива його залежності від співвідношення N_i/N_p і з неї можна визначити значення к_Е, знаючи співвідношення початкової інверсії населеності до пікової. Якщо відомі вихідна енергія і пікова потужність, то можна знайти приблизне значення тривалості імпульсу Δτ_p, яке знаходимо зі співвідношення Δτ_p=Е/P_2p:

(1.57)

Час затримки між включенням добротності й максимумом імпульсу τ_d (див. рис. 5) можна вважати приблизно рівним часу, який необхідний для досягнення числом фотонів певної величини відносно максимального значення, наприклад 1/10. Тоді можна записати, що:

(1.58)

Приймаючи q=q_p/10, знаходимо час затримки τ_d:

(1.59)

Розглянемо тепер імпульсно-періодичний лазер з модуляцією добротності при неперервній накачці.

Треба зауважити, що для такого лазера теж можна використовувати рівняння (1.49). Тому пікову вихідна потужність, вихідну енергія та тривалість імпульса теж можна знаходити відповідно за формулами (1.54), (1.56) і (1.57). Але відношення N_i/N_p вже не буде визначатися із (1.51). Для обчислення цього співвідношення необхідно використати рис.6. На ньому f* -- це нормована частота повторення імпульсів: f*=τf, де f=1/τ_p, τ_p – час між імпульсами, τ – час життя верхнього лазерного рівня. Знайшовши N_i/N_p, можна знайти характеристики такого режиму генерації.

Рис. 5. Коефіцієнт використання енергії к_Е в залежності від відношення N_i/N_p – початкової інверсії до пікової

Рис.6. Залежність N_i/N_p від х для лазера з модуляцією добротності, який працює в імпульсно-періодичному режимі

1.3.2. Синхронізація фаз

Метод синхронізації фаз дозволяє отримати генерацію лазерних імпульсів надкороткої тривалості (від кількох десятків фемтосекунд до кількох десятків пікосекунд). При цьому моди резонатора генерують із приблизно однаковими амплітудами і синхронізованими фазами.

Розглянемо генерацію 2n+1 поздовжніх мод з однаковими амплітудами Е₀. Припустимо, що фази ф_l мод у вихідному пучку синхронізовані таким чином, що виконується співвідношення:

(1.60)

Тоді повне електричне поле електромагнітної хвилі E можна записати у вигляді [1]:

(1.61)

де ω_ц.м. – частота центральної моди, а Δω – відстань між модами. Якщо розглядати для простоти, що фаза центральної моди рівна нулю, то можна записати повне електричне поле хвилі:

(1.62)

де

(1.63)

Перейшовши до нової змінної t′,такої, що Δωt′= Δωt+ф, отримаємо:

(1.64)

З цього виразу можна обчислити А(t′):

(1.65)

Максимуми імпульсів будуть припадати на моменти часу, коли знаменник у (1.65) перетворюється в 0. Це відбувається при t′=0. При цьому отримуємо, що:

(1.66)

Наступний імпульс з’явиться при такому значенні t′, коли (Δω t′)/2=π. Тому два послідовні імпульси розділені проміжком часу:

(1.67)

Тривалість імпульсу приблизно вдвоє більша за його ширину, виміряну на половині висоти функції А²(t′):

(1.68)

де

(1.69)

Це є повна ширина лінії генерації.

Таким чином, маючи тривалість імпульсу й амплітуду хвилі, можна знайти електромагнітну енергію хвилі. З (1.66) видно, що при виконанні умови рівності амплітуд мод сумарне значення амплітуди електромагнітного поля А для 2n+1 мод у 2n+1 разів перевищує значення амплітуди окремої моди Е₀. Значення 2n+1 для твердотільних лазерів є досить великим (10³-10⁴),тому в цьому випадку доцільно застосовувати синхронізацію мод.

Познавательные статьи:



Коммуникативные барьеры и пути их преодоления

Рынок недвижимости. Сущность недвижимости

Решение задач с использованием генеалогического метода

История происхождения и развития детской игры