Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

Муниципальный этап олимпиады по математике, 2014-2015 учебный год

9 класс (решения)

1. Решение.

Существуют лишь два трехзначных числа, которые начинаются цифрами 2, 0 и делятся на 8. Эти числа 200 и 208. Значит, до умножения на 8 у Бориса могли быть только числа 25 и 26. К числу 25 нельзя дописать справа цифру так, чтобы получилось число, кратное 13. Единственное трехзначное число, которое начинается с цифр 2, 6 и делится на 13 – это число 260. Следовательно, исходное число равно 260/13 =20.

Ответ: 20.

2. Решение.

f(1) =a+b+c<0,

f(2) =4a+2b+c>3,

f(3) =9a+3b+c<6.     

f(1)+f(3)<2f(2)

3f(2)>2f(1)+f(3)

Ответ: .

3. Решение.

Пусть x – число нулей, y – число единиц, z – число двоек. После каждой операции все три числа х, у и z изменяются на 1, а значит, меняют чётность. Когда на доске останется одна цифра, одно из чисел х, у, z будет равным 1, то есть нечётным, а два других — равными 0, то есть чётными. Следовательно, с самого начала чётность одного из чисел х, у, z отличалась от чётности двух других чисел. А это значит, что на доске будет оставаться именно та цифра, число которой в исходной записи отличается по чётности от двух других чисел.

Ответ: оставшееся число не зависит от порядка, в котором производились стирания.

4. Решение.

Докажем, что треугольник IJL равнобедренный. Действительно, углы при его основании являются внешними углами треугольников ВIM и CJM, а значит, LIM = ВМI+ MBL, LIM = CMJ + MCL.

Но MCL = MBL, так как они опираются на равные дуги ( AL= DL), и

ВМI = CMJ = .

Следовательно, LIM = LJM и треугольник IJL равнобедренный.

Ответ: IL = JL.

5. Решение.

Будем считать малообщительных чудаков нормальными людьми. Посчитаем количество знакомств между остальными малообщительными (пусть их х человек) и остальными чудаками (пусть их у человек). С одной стороны, это количество не меньше, чем 10 у, так как каждый общительный чудак знаком не менее, чем с 10 людьми, причём не чудаками (чудаки могут быть знакомы между собой, только если они оба малообщительны). С другой стороны, это количество не больше, чем 10 х, так как каждый малообщительный знаком не более, чем с 10 людьми. Значит, х не меньше у, и малообщительных не меньше, чем чудаков.

Ответ: количество чудаков не больше количества малообщительных.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Тактические действия в защите

История Олимпийских игр

История развития права интеллектуальной собственности