Оператор Лапласа и формула Грина в пространстве обобщенных функций.

В О П Р О С 1

1. Основные и обобщенные функции в . Сходящиеся последовательности и полнота пространства . Привести примеры.

1. Нулевое множество и носитель обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции, простые слои.

1. Сходящие последовательности в . Дельтаобразная функция Соболева и дельтаобразные последовательности.

1. Сходящие последовательности в . Интеграл в смысле главного значения. Формула Сохоцкого.

Операции над обобщенными функциями: сдвиг, замена переменных, умножение. Примеры

6. Производная обобщенной функции в Сходящие последовательности в D’ (R) ¹. Производные кусочно-непрерывных и кусочно- дифференцируемых функций. Функция Хевисайда и ее обобщенная производная.

7. Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор. Формулы Остроградского Гаусса.

Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины – скалярной или векторной.

Определение 2. Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным.

Примеры скалярных полей:

- каждой точке М нагретого тела поставлена в соответствие T(M) − ее температура, она образует поле температур внутри нагретого тела;

- какой-либо источник света создает поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке Е(М);

Примеры векторных полей:

- если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, вообще говоря, с различной в разных точках, каждой точке можно поставить в соответствие вектор скорости, то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости;

- если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку области, действует гравитационная сила, которая и образует поле сил тяготения или гравитационное поле;

Важной характеристикой скалярного поля является градиент, позволяющий аналитически описать это поле. В декартовой системе координат градиент скалярного поля определяется по формуле

или

Тогда производная по направлению где

Говорят, что скалярное поле U порождает векторное поле градиента U.

Пусть P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) - непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка функции.

Дивергенцией векторного поля F=(P,Q,R) называется скаляр

Ротором векторного поля F=(P,Q,R) называется вектор

Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое поле называется потенциальным.

Формулы Остроградского-Гаусса. T- замкнутая область ограниченная гладкой поверхностью S. cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

.

Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объем.

.

8. Характеристическая функция множества и ее производная в . Разрывные регулярные обобщенные функции и их производные. Примеры.

Характеристическая функция, или функция принадлежности подмножества A⊇X — это функция, определённая на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента x∈X подмножеству A.

В нашем случае этой функцией является функция Хевисайда:

или

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции:

.

Производная от sgn(x)

Пусть функция f(x) кусочно-непрерывно дифференцируема в (a, b) и пусть {x_k} - точки из (a, b), в которых она и ее производная имеют разрывы 1-го рода. Тогда

(1)

где f'_кл(x) - классическая производная функции f(x), равная f'(x) при x≠x_k, и не определена в точках {x_k}, - скачок функции f(x) в точке x_k,

Действительно, для любой ϕ∈D(a, b) имеем

что и доказывает формулу (1).

Примеры.

1)Примером может служить производная от функции Хевисайда, показанная выше.

2)

3)

9,Производная обобщенной функции в . Производная простого слоя, двойной слой.

Докажем, что

(1)

Действительно в силу при всех имеем

где вспомогательная функция и равна 1 в окрестности носителя . Замечая теперь, что функция принадлежит , и пользуясь равенством

получаем равенство (1):

Пусть "шапочка". Тогда бесконечно дифференцируемая функция

В О П Р О С 1

1. Основные и обобщенные функции в . Сходящиеся последовательности и полнота пространства . Привести примеры.

1. Нулевое множество и носитель обобщенной функции. Регулярные и сингулярные обобщенные функции, простые слои.

1. Сходящие последовательности в . Дельтаобразная функция Соболева и дельтаобразные последовательности.

1. Сходящие последовательности в . Интеграл в смысле главного значения. Формула Сохоцкого.

Операции над обобщенными функциями: сдвиг, замена переменных, умножение. Примеры

6. Производная обобщенной функции в Сходящие последовательности в D’ (R) ¹. Производные кусочно-непрерывных и кусочно- дифференцируемых функций. Функция Хевисайда и ее обобщенная производная.

7. Скалярные и векторные поля. Градиент, дивергенция, ротор. Формулы Остроградского Гаусса.

Определение 1. Говорят, что в некоторой области Ω задано поле, если каждой точке Ω соответствует определенное значение некоторой величины – скалярной или векторной.

Определение 2. Если в каждой точке Ω величина принимает числовые значения, то поле называется скалярным, если же в каждой точке Ω задан вектор, то поле называется векторным.

Примеры скалярных полей:

- каждой точке М нагретого тела поставлена в соответствие T(M) − ее температура, она образует поле температур внутри нагретого тела;

- какой-либо источник света создает поле освещенности и каждой точке М ставится в соответствие освещенность в этой точке Е(М);

Примеры векторных полей:

- если в какой-то области, заполненной жидкостью, текущей с некоторой скоростью, вообще говоря, с различной в разных точках, каждой точке можно поставить в соответствие вектор скорости, то получится векторное поле скоростей движущейся жидкости;

- если в области распределена некоторая масса, то на материальную точку с единичной массой, помещенную в данную точку области, действует гравитационная сила, которая и образует поле сил тяготения или гравитационное поле;

Важной характеристикой скалярного поля является градиент, позволяющий аналитически описать это поле. В декартовой системе координат градиент скалярного поля определяется по формуле

или

Тогда производная по направлению где

Говорят, что скалярное поле U порождает векторное поле градиента U.

Пусть P=P(x,y,z), Q=Q(x,y,z), R=R(x,y,z) - непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка функции.

Дивергенцией векторного поля F=(P,Q,R) называется скаляр

Ротором векторного поля F=(P,Q,R) называется вектор

Если для всех точек поля ротор равен нулю, то такое поле называется потенциальным.

Формулы Остроградского-Гаусса. T- замкнутая область ограниченная гладкой поверхностью S. cosα, cosβ, cosγ - направляющие косинусы внешней нормали к поверхности S.

.

Формула Остроградского-Гаусса в векторной форме: интеграл от дивергенции векторного поля F, распространенный по некоторому объему T, равен потоку вектора через поверхность S, ограничивающую данный объем.

.

8. Характеристическая функция множества и ее производная в . Разрывные регулярные обобщенные функции и их производные. Примеры.

Характеристическая функция, или функция принадлежности подмножества A⊇X — это функция, определённая на множестве X, которая указывает на принадлежность элемента x∈X подмножеству A.

В нашем случае этой функцией является функция Хевисайда:

или

Производная функции Хевисайда равна дельта-функции:

.

Производная от sgn(x)

Пусть функция f(x) кусочно-непрерывно дифференцируема в (a, b) и пусть {x_k} - точки из (a, b), в которых она и ее производная имеют разрывы 1-го рода. Тогда

(1)

где f'_кл(x) - классическая производная функции f(x), равная f'(x) при x≠x_k, и не определена в точках {x_k}, - скачок функции f(x) в точке x_k,

Действительно, для любой ϕ∈D(a, b) имеем

что и доказывает формулу (1).

Примеры.

1)Примером может служить производная от функции Хевисайда, показанная выше.

2)

3)

9,Производная обобщенной функции в . Производная простого слоя, двойной слой.

Оператор Лапласа и формула Грина в пространстве обобщенных функций.

11.Прямое произведение обобщенных функций и его свойства. Привести примеры.

Определение прямого произведение.Пусть и локально интегрируемые функции в пространствах и соответственно. Функция также будет локально интегрируемой в . Она определяет обобщенную функцию, действующую на основные функции по формулам

, (1)

(1*)

Это равенство выражaют теоремы Фубини о совпадении повторных интегралов с кратным.Равенство (1) мы примсем за определение прямого произведения обобщенных функций

(2)

Прямое произведение коммутативно:

Примеры: Доказать что

12.Дифференцирование прямого произведения. Привести примеры.

Дифференцирование прямого произведения

(1)

В самом деле, если то

Доказательство:

)=

=

Умножение прямого произведения:

Если

Сдвиг прямого произведения:

13.Свертка регулярных обобщенных функций и ее свойства. Условия существования сверток. Привести пример

14. Свертка обобщенных функций в и ее свойства. Свертка регулярной обобщенной функции с простым слоем.

Определение. Сверткой обобщенных функций называется линейный непрерывный функционал вида:

, ϕ∈D(R^N), h_k(x)-шляпа Соболева,

при условии, что такой функционал существует.

Свойства свертки:

1) Коммутативность. Если свертка существует, то найдется и свертка и они будут равны:

Это вытекает из определения свертки и из коммутативности прямого произведения:

.Таким образом получаем:

2) Сдвиг свертки. Если существует, то существует и свертка для любых , при этом:

,

Если - последовательность функций из , сходящаяся к в , тогда для всех выполняется

Используя определение сдвига и свертки, для всех обретаем:

.

Тут мы воспользовались формулой для сдвига прямого произведения.

3) Отражение свертки. Если найдется свертка , то найдется и свертка , при этом

Доказательство получается аналогично 2).

4) Дифференцирование свертки. Если найдется свертка , то найдется свертка и f , при этом

4) На множестве обобщенных функций, которые имеют с свертку, операция линейна.

Это следует напрямую из определения свертки и из линейности операции .

Свертка регулярной обобщенной функции с простым слоем:

Познавательные статьи:



Где возникла философия и почему?

Относительная высота сжатой зоны бетона

Сущность проекции Гаусса-Крюгера и использование ее в геодезии

Тарифы на перевозку пассажиров