Оптимальность и равновесность состояний

↑

▷ Содержание

⇐ ПредыдущаяСтр 39 из 46Следующая ⇒

Зная, что равновесное состояние модели может быть или не быть оптимальным по Парето, также как и Парето-оптимальное состояние может быть или не быть равновесным в заранее определенном смысле, рассмотрим связи между равновесным состоянием (6.10) — (6.13) и оптимальными состояниями в смысле глобальных критериев W_I и W_II, соизмеряющих уровни удовлетворения групп от их потребления и трудовой деятельности. Оказывается, в рамках определенных, не очень жестких условий, накладываемых на соотношения модели (6.1) — (6.6), между ними существует строгое соответствие. Эти условия сводятся к следующим требованиям.

(I) Интервальные функции полезности u_i(x_i, l_i), определенные на векторах , строго выпуклы по x_i, l_i, непрерывно дифференцируемы и

(II) Множество технологических возможностей производства - множество пар - векторов строго выпукло.

(III) Все коэффициенты положительны и

(IV) Область, определенная соотношениями (6.1) — (6.5), огра­ничена.

(V) Выполняется условие Слейтера, т. е. существуют такие до­пустимые векторы /_i', /', х_i', у', i = 1, 2,..., n, что

Очевидно, в этих условиях задачи на максимум выпуклых функционалов W_I или W_II имеют оптимальные решения, совпадаю­щие с соответствующей компонентой седловой точки функции Лагранжа.

С учетом всего изложенного могут быть сформулированы следую­щие четыре теоремы.

Теорема 4. Всякому оптимальному решению {х_i°, l_i°}₁ⁿ, y°, l° задачи на максимум функции W_I при ограничениях (6.1) — (6.5) соответ­ствуют такие векторы оценок р° q° и величины трансфертов Ц°, что все они в совокупности образуют равновесие вида (6.10) — (6.13).

Пусть, далее, набор векторов {х_i°, l_i°}, y°, l° образует оптимальное решение в задаче на max min _iu_i(x_i, l_i) при прежних ограничениях. Рассмотрим оптимизационную задачу с критерием W_II = minl _iu_i(x_i, l_i), l _i > 0, представив ее в виде:

(6.14)

(6.15)

(6.16)

т. е. (6.17)

Пусть х_i°, l_i°, y°, l° образуют ее оптимальное решение, a , p°, q° суть двойственные оценки, соответствующие ограничениям (6.15) и (6.16). Тогда имеет место следующая теорема.

Теорема 5. Если при выполнении условий (I) — (V) в задаче (6.14) — (5.17) оптимальные оценки > 0 для всех i = 1, 2,..., т, то может быть образовано равновесие (как и в теореме 4) с помощью величин р°, q°, Д°.

Две следующие теоремы обратны предыдущим.

Теорема 6. Пусть в условиях (I) — (IV) набор р*, q*, {x_i*, l_i*}, у*, l *, {D_i*} образует такое равновесие, при котором каждая группа имеет ненулевое потребление хотя бы одного продукта. Тогда суще­ствует единственный набор величин > 0, таких, что состояние {х_i*, l_i *}, у*, l* будет оптимальным в задаче с ограничениями (6.1) — (6.5) и целевой функцией

Теорема 7. Пусть в тех же условиях, что и для теоремы 6, набор р*, q*, у*, l*, {x_i*, l_i* D_i*} образует равновесие. Пусть также "масштаб измерения интервальных полезностей u_i выбран так, что u_i(x_i*, l_i*) = и_i* > О V i. Тогда существуют такие коэффициенты > 0, что функ­ционал достигает максимума на равновесных состо­яниях у*, l *, {x_i*, l_i*} при ограничениях (6.16) — (6.17).

Отметим, что теоремы 5 и 7 говорят о несколько разных оптималь­ных состояниях задачи с критерием W_II. Теорема 5 гарантирует равновесность оптимального состояния только при строгой положи­тельности оценок , что означает пересечение в пространстве зна­чений u_i лучом u_i = z/l_i Парето-границы множества — значения переменных, удовлетворяю­щих условиям (6.16) — (6.17)}. Теорема 7 утверждает, что всякое рав­новесное состояние будет оптимальным по отношению к целевому функ­ционалу W_II, даже если этот оптимум не обеспечивает строгой про­порциональности с коэффициентами 1/ l _i, значений целевых функ­ций u_i.

Совпадение равновесия с оптимумом означает, что каждое со­стояние народного хозяйства, отвечающее принятому критерию опти­мальности, оказывается выгодным с точки зрения каждой группы и экономики в целом, если доходы и оценки определяются как двой­ственные переменные задачи оптимизации плана. Изменение внеш­них условий должно сопровождаться переходом экономики в новое состояние, которое также будет выгодным для групп при новых це­нах и оценках.

Равновесие (6.10) — (6.13) представляет собой некоторую норма­тивную модель возможных экономических взаимоотношений и, ра­зумеется, не имеет прямого аналога в действительности. Однако если считать, что некоторая реальная экономическая система на­ходится в оптимальном состоянии по отношению к функционалам W, W_I или W_II - то это означает, что равновесие как бы присутствует «в скрытой форме».

С точки зрения практической осуществимости важны не сами равновесные состояния, а, как это отмечалось в гл. 4, процессы взаимодействия всех участников экономической системы. Равновес­ное состояние должно быть «стационарным» по отношению к такого рода процессам.

Определенный интерес представляют соотношения (6.11). Если величина D_i⁰ для группы i строго положительна (см. рис. 6.2), то это означает, что к суммарной оценке трудозатрат группы дополнительно прибавляется некоторая величина, увеличивающая ее возможности как потребителя. Если D_i⁰ <0, то из общей оценки трудозатрат вы­читается некоторая величина, и, хотя оптимальное состояние (x_i⁰; l_i⁰) — наилучшее для группы с точки зрения ее целевой функции и ее возможностей, все же могут существовать точки, являющиеся выпуклой линейной комбинацией данной точки и точки (0,0), более выгодные, чем оптимальная, и не удовлетворяющие ограничениям модели поведения (6.11). Подобная ситуация может показаться некоторым нарушением «суверенитета» группы как потребителя, которая, может быть, предпочла бы в течение данного промежутка времени частично «ничего не делать и ничего не получать», а час­тично иметь возможность получать x_i⁰ в обмен на трудозатраты l_i⁰. Однако такая интерпретация неправомочна, поскольку трудо­затраты оцениваются именно за весь данный промежуток времени, рассматриваемый как единичный.

Рис.6.2.

Главной особенностью модели равновесия (6.10) —(6.13) являет­ся наличие трансфертов Df, которые участвуют в формировании до­хода групп и которые можно интерпретировать как разбиения общей прибыли и ренты (за вычетом определенной «общеэкономической нагрузки») между группами. В принципе можно было бы органи­зовать разбиение величины D* = (р*, у—a) — (q*, /) по некоторому жесткому правилу, например, зафиксировав «долевое» участие групп в виде коэффициентов а_i (как это фактически делается в мо­дели Эрроу — Дебре). Можно также задать некоторое априорное правило, устанавливающее значения трансфертов D_i* в зависимости от общей суммы D, а также цен p* и оценок q*: D_i = D_i[D, p, q], D = SD_i. Такое правило тогда выражало бы принципы распределе­ния данной экономической системы, поскольку указывало бы для каждой группы максимально допустимую разность между оценкой потребления группы и оценкой ее трудового вклада.

Достоинством равновесного механизма функционирования явля­ется то, что хозяйство СЭО, без дополнитель­ного решения в неком «центре» глобальной задачи на оптимизацию, сохраняет состояние, «выгодное» всем участникам данного экономи­ческого процесса. Однако с точки зрения непосредственного соот­ношения уровней удовлетворения потребностей схемы равновесия имеют существенный дефект, на который почему-то обращается мало внимания. Даже если равновесный механизм «выводит» эко­номику в оптимальное состояние, соответствующий способ согла­сования, определяемый ценами р* и оценками q*, зависит от «внеш­ней среды», т.е. оказывается неинвариантным.

В классической модели Эрроу — Дебре [19, 32] доход потреби­теля i зависит от постоянной доли в прибыли производства. При разных внешних условиях равновесные состояния хотя и будут оптимальными в смысле функционалов , но коэффициенты будут различаться, соизмерение интересов каждый раз будет происходить по-своему. Так же обстоит дело в случае модели (5.10) — (5.13).

Было бы очень удобно, если бы принятые принципы согласова­ния допускали одновременно свое выражение и в форме задания весовых коэффициентов , и (в схеме равновесия) через формирова­ние фиксированной структуры доходов. В этом случае можно было бы прямо использовать положительные стороны обоих подходов и, в частности, задавая принципы соизмерения интересов разных групп непосредственно в стоимостной форме, автоматически полу­чать необходимое соизмерение целевых функций u_i.

Однако это не так.

Действительно, зафиксировав коэффициенты на неко­тором уровне, можно подобрать соответствующее им равновесие. Но при изменении внешних условий параметры равновесия D_i ста­нут другими. Таким образом, «принципы справедливого соотноше­ния» между трудозатратами и потреблением будут сохраняться в форме W_l или W_ll, но будут все время изменяться в равновесии. Наоборот, если зафиксировать понимание «справедливого соотне­сения» в отношениях между параметрами равновесия (например, с помощью некоторых функций D_i (D, p, q), то соответствующее равновесное состояние будет оптимальным с вполне определенными коэффициентами . Однако при изменении внешних условий, но сохранении прежнего соотношения между каждый раз будут оптимизироваться, вообще говоря, разные целевые функции, т.е. по-разному соизмерять непосредственно воспринимаемый уровень удовлетворения разных групп.

Можно, конечно, считать, что изменения оценок отражают объек­тивные условия, в которых находится экономика, а это должно находить отражение и в изменении соотношения между уровнями удовлетворения, однако трудно принять, что принципы согласова­ния надо задавать в неких оценках, а не непосредственно в воспри­нимаемых потребителями показателях. С точки зрения участника процесса производства, его труд остается самим собой, как и то, что он потребляет, независимо от степени дефицитности того или иного фактора в данной системе. Поэтому естественно ожидать опреде­ленных «гарантий» по сохранению неизменными принципов соизме­рения. Но тогда параметры, задающие распределение в равновесном функционировании, должны каким-то образом меняться. В данном случае это означает неизменность коэффициентов глобального критерия или их заранее заданную динамику.

Как мы видим, с точки зрения отражения принятых принципов распределения в моделях социально-экономического планирования оптимальный подход представляется более строгим и адекватным. Однако в этом случае возникает задача формирования и корректи­ровки параметров равновесия, поддерживающих в качестве «обрат­ной связи» оптимум. Рассмотрим эту задачу на совсем простом при­мере, который позволит более ясно выразить основные аспекты всей проблемы.

Пусть анализируемая система состоит из двух подсистем двух групп потребителей, каждая из которых использует один и тот же вид ресурса в объеме s_k («деньги»), максимизируя уровень удовлетворения своих потребностей, потребляя набор продуктов по ценам р:

u₁(х₁) max, u₂(х₂) max,

х₁ 0, (р, х₁ ) s₁ ; х₂ 0, (р, х₂ ) s₂. (6.29)

Система в целом пусть располагает общим объемом распределяемого ресурса s, так что имеет место

s₁ + s₂ = S. (6.30)

Состоянием системы естественно считать пару векторов x_l и x₂, удовлетворяющих (5.29).

Если задан «принцип распределения» суммарного дохода между потребителями, например, в виде а = а(р, s), так что 0 < а(р, s) < 1, s₁ = aS, s₂=(l — a)S, то этим задано равновесное функционирова­ние; при изменении «внешней среды» (цен р и дохода S) система будет приходить в равновесие путем независимых частных оптимизаций.

Но можно предположить, что существует глобальный критерий оптимальности, соизмеряющий интересы с помощью весовых коэф­фициентов и . Тогда состояние системы определяется решением следующей экстремальной задачи выбора:

u₁ (x_l) + u₂ (x₂ ) max,

x_l, х₂ 0, (р, x_l + x₂) S. (6.31)

Необходимо установить, какова связь между равновесным состоянием (, ) модели (5.29) — (5.30) и оптимальным состоянием (, ) модели (5.31). Как легко видеть, каждое оптимальное состояние (при некоторых естественных предложениях относительно функций u_i) будет равновесным состоянием, если = (р, ) и = (р, ). Кроме того, произвольное распределение общего дохода, определяющее равновесное состояние, будет Парето-оптимальным.

Рассмотрим задачу такого формирования экономических пара­метров (в данном случае доходов участников), которое при измене­нии внешних условий (в нашем случае общего дохода S и цен р) будет неизменно соответствовать принятым принципам согласования.

Нетрудно убедиться, что если сформулировать равновесие для данного оптимального плана (, ), то о. о. оценки доходов и в модели (6.29) будут обратно пропорциональны весовым коэф­фициентам :

где — о. о. оценка дохода в модели (6.31). Отсюда следует, что неизменность принципов соизмерения интересов в форме W_l требует сохранения неизменным отношения между предельными полезностями и . Возникает вопрос: как определять правило распреде­ления а (р, S) в зависимости от изменений р и S, чтобы равновесие соответствовало критерию с данными ?

Положим сначала, что p=const, а для разных значений S S_min протабулированы значения функций = (S), = (S). Пусть величины и заданы. Тогда для всех S должно выполняться соотношение

(S - s₁ ) = (s₁ )

(на рис. 5.3 приводится номограмма, позволяющая находить распре­деление общего дохода S на части s₁ и s₂ в соответствии с весовыми коэффициентами и ). Пусть задана величина общего дохода S = S^t. Тогда находится точка пересечения кривой y = (s₁ ) и кривой y = (S^t — s₁); ее первая координата определяет доход первой группы потребителей, а доход второй будет соответственно равен = S^t — .

Чтобы найти распределение доходов в случае изменения цен и при числе участников больше двух, необходимо предварительно рассчитать все функции = (р, S).

Далее решается система уравнений:

(6.32), (6.33)

Выразив величины s_i (при данных ценах) через s₁ :

s_i = (6.34)

подставив их выражения в (6.32), можно определить s₁; затем по формулам (6.34) определяются и остальные s_i.

Таким образом, можно представить себе механизм равновесно-оптимального функционирования: сначала определяются принципы учета потребительских интересов всех участников, выражаемые на­бором коэффициентов > 0; затем в зависимости от того, какие значения принимает вектор цен р°, определяются (рассчитываются «плановыми органами», «центром») зависимости о. о. оценок дохода каждой группы потребителей от самой величины его дохода = ( , р°,). После этого ими же решается система уравнений (6.32)—(6.33), в результате чего будет найдено распределение общего дохода S между всеми потребителями.

	Рис. 6.3.

Познавательные статьи:



Техника прыжка в длину с разбега

Организация работы процедурного кабинета

Области применения синхронных машин

Оптимизация по Винеру и Калману